05 概率群式 - 疾病检测¶

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问题背景

假定 $n$ 个人相互独立地以概率 $p$ 患病，如何找出全部的病人，使平均检测次数尽可能少？

名词介绍¶

记 $A$ 为患病， $B$ 为检测结果为阳性，疾病检测方法的性能指标为

灵敏度（sensitivity） $p = P (B | A)$ ：患病者被检测为阳性（positive）的概率
特异度（specificity） $q = P (\overset{―}{B} | \overset{―}{A})$ ：未患病者被检测为阴性（negative）的概率

设疾病的发病率为 $r$ ，则被检测出阳性的情况下患病的概率为

P (A | B) = \frac{P (B | A) P (A)}{P (B | A) P (A) + P (B | \overset{―}{A}) P (\overset{―}{A})} = \frac{p r}{p r + (1 - q) (1 - r)}

概率群式¶

概率群式：假定 $n$ 个人相互独立地以概率 $p$ 患病，如何找出全部的病人，使平均检测次数尽可能少？

如何选择群式方案？我们要考虑平均检测次数、检测阶段数、每人最大检测次数、每组最多样本数、方案的可操作性、检测的灵敏度与特异度等多个因素

两阶段群式¶

将 $n$ 人的样本混合后检测。若结果为阴性，说明这 $n$ 人均未感染。若结果为阳性，说明这 $n$ 人中至少有一人已感染。此时逐个检测每个人样本。

检测次数¶

混合样本阴性概率为 $(1 - p)^{n}$ ，总检测次数为 $1$ ；
混合样本阳性概率为 $1 - (1 - p)^{n}$ ，总检测次数为 $n + 1$ 。
检测次数的数学期望为 $1 \cdot (1 - p)^{n} + (n + 1) \cdot (1 - (1 - p)^{n})$ ；
平均检测次数的数学期望为 $\frac{1 \cdot (1 - p)^{n} + (n + 1) \cdot (1 - (1 - p)^{n})}{n}$ 。

矩阵检测方案¶

自适应思路¶

将 $m \times n$ ( $m \leq n$ )个人按矩阵排好，先检测每行样本，若结果为阴性，说明这 $m$ 人均未感染。若结果为阳性，说明这 $m$ 人中至少有一人已感染。此时逐个检测每列样本。

检测次数¶

这里的每行就相当于两阶段群式中的混合样本，每列就相当于两阶段群式中的每个人样本。

非自适应思路¶

将 $m \times n$ ( $m \leq n$ )个人按矩阵排好，对每行每列分别进行检测。通过检测结果确定感染者的位置。

检测次数¶

总检测次数均为 $m + n$ 。

三阶段检测方案¶

第一阶段：有 $n$ 个人，进行总体的混合检测，若结果为阴性，说明这 $n$ 人均未感染。若结果为阳性，说明这 $n$ 人中至少有一人已感染。进入第二阶段。

第二阶段：将这 $n$ 人分成 $A$ ， $B$ 两组，每组 $n / 2$ 人，先对 $A$ 组进行检测，若结果为阴性，说明这 $n / 2$ 人均未感染，且确定感染者在 $B$ 组。若结果为阳性，说明这 $n / 2$ 人中至少有一人已感染，但仍需确定 $B$ 组是否有感染者，此时对 $B$ 组进行总体的混合检测。

第三阶段：对有感染者的组进行逐个检测，确定感染者的位置。

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计算概率：

第一阶段

结果为阴性的概率为 $(1 - p)^{n}$ ，总检测次数为 $1$ ；

第二阶段

$A$ 组结果为阴性的概率为 $(1 - p)^{n / 2}$ ；则 $B$ 组肯定为阳性，这发生的概率为 $1 - (1 - p)^{n / 2}$

$\begin{aligned} 第一阶段总体检测 + 检测 A 组 + 逐个检测 B 组 \\ = & 1 + 1 + n / 2 \\ = & 2 + n / 2 \end{aligned}$
$A$ 组结果为阳性的概率为 $1 - (1 - p)^{n / 2}$ ， $B$ 组结果为阴性的概率为 $(1 - p)^{n / 2}$ ，总检测次数为

$\begin{aligned} 第一阶段总体检测 + 总体检测 A 组 + 逐个检测 A 组 + 总体检测 B 组 \\ = & 1 + 1 + n / 2 + 1 \\ = & 3 + n / 2 \end{aligned}$
$A$ 组结果为阳性的概率为 $1 - (1 - p)^{n / 2}$ ， $B$ 组结果为阳性的概率为 $1 - (1 - p)^{n / 2}$ ，总检测次数为

$\begin{aligned} 第一阶段总体检测 + 总体检测 A 组 + 逐个检测 A 组 + 总体检测 B 组 + 逐个检测 B 组 \\ = & 1 + 1 + n / 2 + 1 + n / 2 \\ = & 3 + n \end{aligned}$

所以总检测次数的数学期望为

\begin{aligned} (1 - p)^{n} \cdot 1 + (1 - p)^{\frac{n}{2}} (1 - (1 - p)^{\frac{n}{2}}) \cdot (2 + \frac{n}{2}) + (1 - (1 - p)^{\frac{n}{2}}) (1 - p)^{\frac{n}{2}} \cdot (3 + \frac{n}{2}) + (1 - (1 - p)^{\frac{n}{2}})^{2} \cdot (3 + n) \\ = & n + 3 - (n + 1) (1 - p)^{\frac{n}{2}} - (1 - p)^{n} \end{aligned}

平均检测次数的数学期望为

1 + \frac{n}{3} - (1 + \frac{1}{n}) (1 - p)^{\frac{n}{2}} - \frac{1}{n} (1 - p)^{n}