13 追逐问题

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问题背景

两艘船在平静的海面上相向而行，海盗船的速度为 $v_p$，商船的速度为 $v_m$

1. 两船速度不变。
2. 海盗船的航向始终指向商船。

问：海盗船是否能追上商船？追上时，两船的位置分别在哪里？

两船速度不变

若在某一时刻，海盗船与商船位于同一地点 $A(x,y)$，则$\frac{|AO|}{|MO|}=k$，即

$$\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{(x-m{)}^2+y^2}}=k$$

所以 $A$ 的轨迹为圆

$$(x-\frac{k^{2}m}{k^2-1}{)}^2+y^2=(\frac{km}{k^2-1}{)}^2$$

阿波罗尼奥斯圆

两船速率不变，一船方向改变

商船沿直线航行，航向垂直于连接商船与海盗船初始位置的直线。在任意时刻，海盗船的航行方向为连接商船与海盗船此时位置的直线的方向。

以海盗船初始位置为原点，商船初始位置为 $M(m,0)$，建立直角坐标系，记 $\frac{v_m}{v_p}=r$。设海盗船在与商船相遇前的轨迹为函数 $y=f(x)$，则

在 $t$ 时刻

• 商船位置 $M_t(m,v_{m}t)$，海盗船位置 $P_t(x(t),y(t))$
• 连接海盗船与商船当前位置的直线斜率为 $\frac{y-v_{m}t}{x-m}=f^{\prime }(x)$
  • 直线方程为 $y-v_{m}t=f^{\prime }(x)(x-m)$
• 海盗船的轨迹自原点至 $P_t$ 的弧长为 $v_{p}t={\int }_0^x\sqrt{1+{f^{\prime }}^2(z)}dz$

所以，我们可以得到

$$\frac{1}{v_p}{\int }_0^x\sqrt{1+f^{\prime 2}(z)}dz=t=\frac{1}{v_m}(y-(x-m)f^{\prime }(x))$$

对两边求导，我们有

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{v_p}\sqrt{1+{f^{\prime }}^2(x)}& =\frac{1}{v_m}(f^{\prime }(x)-f^{\prime }(x)-(x-m)f^{\prime \prime }(x))\\ -\frac{v_m}{v_p}\sqrt{1+{f^{\prime }}^2(x)}& =(x-m)f^{\prime \prime }(x)\\ \frac{\mathrm{d}{f}^{\prime }(x)}{\sqrt{1+{f^{\prime }}^2(x)}}& =-\frac{r}{x-m}\mathrm{d}x\\ \ln {|f^{\prime }(x)+\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}\Vert }_0^x& =-r\ln {|x-m||}_0^x\\ \Rightarrow \ln |f^{\prime }(x)+\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}|& =-r\ln |1-\frac{x}{m}|\\ \Rightarrow f^{\prime }(x)+\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}& ={(1-\frac{x}{m})}^{-r}\end{array}$$

对两边取倒数，我们有

$$\{\begin{array}{ll}{f}^{\prime }(x)+\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}& ={(1-\frac{x}{m})}^{-r}\\ f^{\prime }(x)-\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}& ={(1-\frac{x}{m})}^r\end{array}$$

所以

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}({(1-\frac{x}{m})}^{-r}-{(1-\frac{x}{m})}^r)$$

对两边积分，我们有

$$f(x)=\frac{rm}{1-r^2}+\frac{m-x}{2}(\frac{1}{1+r}{(1-\frac{x}{m})}^r-\frac{1}{1-r}{(1-\frac{x}{m})}^{-r})$$

所以追上时的纵坐标为

$$f(m)=\frac{rm}{1-r^2}$$

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